===== Cvičení 7 =====

[[https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/cviceni/ls2.pdf?id=courses%3Aa4b33opt%3Acviceni%3Astart&cache=cache|Zadání]]

=== Řešení druhé části cvičení pomocí QR rozkladu ===


<code matlab>

%
% Function which solves Ax = b system of equations using QR decomposition
%
% Author: Martin Vejmelka <vejmema1@fel.cvut.cz>
%

function [ x ] = get_solution( A, b )

    % determining solution size
    asize = size(A);
    result_vector_size = asize(2);
    
    % QR decomposition
    [Q1, R] = qr(A, 0);
    
    % vector being counted
    x = zeros(result_vector_size, 1);
    
    % right side
    b2 = Q1' * b;
        
    % iterating through values in x and counting x
    for i = result_vector_size:-1:1
        x(i) = (b2(i) - (R(i,:) * x)) / R(i, i);
    end

end


</code>

==== Bonusovky ====

--- //[[rehorto2@fel.cvut.cz|Tomáš Řehořek]] 2009/11/26 20:31//

=== Hodnota min(F(x)) pokud rank(A) = rank (A|b) ===

Otázka: Čemu se rovná minimum funkce **//F//**(**//x//**) pokud platí hodnost(**A**) = hodnost([**A** **//b//**])? Vaši odpověď zdůvodněte.

Odpověď: Podle Frobeniovy věty má soustava v takovém případě (alespoň jedno) přesné řešení. Tzn., že lze nalézt řešení, kdy je mezi vektory **A//x//** a **//b//** nulová vzdálenost. Pak bude platit F(**//x//**) = ||**A//x//** − **//b//**||² = ||**0**||² = 0. Optimálnější řešení nalezneme jen s nepřekonatelnými obtížemi.

=== Platnost ||Q^T * z||² = ||z||² pokud Q je ortonormální ===

Otázka: Dokažte, že platí ||**Q**^//T// * **//z//**||² = ||**//z//**||², ∀**//z//** ∈ ℜ^//m//, pokud **Q** ∈ ℜ^//m//×//m// je ortonormální matice.

Odpověď: Nejprve přepíšeme normu ||**Q**^//T// * **//z//**||² na součin: (**Q**^//T// * **//z//**)^//T// * (**Q**^//T// * **//z//**). Pak provedeme transpozici první závorky: (**Q**^//T// * **//z//**)^//T// * (**Q**^//T// * **//z//**) = (**//z//**^//T// * (**Q**^//T//)^//T//) * (**Q**^//T// * **//z//**) = (**//z//**^//T// * **Q**) * (**Q**^//T// * **//z//**). Nyní využijeme asociativity maticového násobení a součin přepíšeme na **//z//**^//T// * (**Q** * **Q**^//T//) * **//z//**. Z ortonormality matice **Q** vyplývá, že **Q** * **Q**^//T// = **E**, tedy dostáváme **//z//**^//T// * **E** * **//z//**. Jednotková matice je vzhledem k násobení neutrální, takže máme **//z//**^//T// * **//z//**. To ale není nic jiného, než norma ||**//z//**||², což jsme chtěli dokázat. Pan Olšák by měl v tuto chvíli radost.

~~DISCUSSION~~