Test 2 vás čeká v úterý 24. listopadu. Otázky v testu se budou týkat látky z přednášek 10-13, to jest kvadratických funkcí více proměnných, vlastních čísel, nejmenších čtverců, parciálních derivací a minimalizace s omezeními pomocí Lagrangeových multiplikátorů.

====== Vzorové příklady ======


[[https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/priklady1.pdf?id=courses%3Aa4b33opt%3Astart&cache=cache|Vzorové příklady]]

===== 1) Spočítejte vlastní čísla matice =====

   1  2
  
  -4 -2

Postup:

A*x = lambda*x

(A-I*lambda)*x=0

det(A-I*lambda)=0


determinant

     1-lambda  2
    
     -4        -2- lambda

(1-lambda)*(-2- lambda) -2*(-4)=0

lambda^2 + lambda + 6=0

lambda = (-1 +-i sqrt(23))/2


===== 2) Napiště rovnici, jejímiž kořeny jsou vlastní čísla matice =====

Stačí spočítat rovnici jako v prvním případě, není třeba hledat kořeny

Neověřený výsledek: - lambda ^ 3 + 2 lambda ^ 2 + 13 lambda - 24

Vyšlo mi: - lambda ^ 3 + 2 lambda ^ 2 + 14 lambda + 8  --- //[[r.polasek@seznam.cz|Roman Polášek]] 2009/11/24 12:46//

Také mi vyšlo: - lambda ^ 3 + 2 lambda ^ 2 + 14 lambda + 8  --- //[[stepan.hasek@gmail.com|Štěpán Hašek]] 2010/01/16 12:05//

===== 3) Pro dané matice určete (ručně), zda jsou positivně/negativně (semi)definitní nebo indefinitní =====
Určíme vlastní čísla, pak platí

idefinitní - vlastní čísla jsou kladná i záporná

semidefinitní - vlastní čísla obsahují nulu a jsou buď jen kladná nebo jen záporná

definitní - vlastní čísla jsou jen kladná, nebo jen záporná (bez nuly)

===== 4) Čemu je rovno A ^ n = A x ... x A (n-krát), kde A je symetrická matice? Při odpovědi použijte pojem vlastních čísel. =====
A je podobna diagonalni matici D, tzn. A = X^-1DX kde D ma na diagonale stejna vlastni cisla matice  A a X je regularni matice

Z toho plyne, ze A^n = (X^-1DX)^n  -> (X^-1DX)(X^-1DX)...(X^-1DX)=X^-1D(XX^-1)D(XX^-1)...DX=X^-1D^nX -> **A^n = X^-1D^nX** kde X je regularni matice a D ma na diagonale vlastni cisla matice A. Tedy D^n ma na diagonale vlastni cisla matice A^n

===== 5) Je dána funkce f(x,y) = 6xy^2 - 2x^3 - 3y^3. Určete rovnici ===== 
z = 6xy^2 -2x^3 -3y^3

a) rovnice tečné roviny v bode (1, -2)

funkcni hodnota v bode (1, -2)

z(1, -2) = 6*1*4 - 2 + 3*8 = 46

parcialní derivace podle x

dz/dx = 6y^2 - 6x^2

dz/dx (1, -2) = 6*4 - 6*1 = 18


parcialní derivace podle y

dz/dy = 12xy - 9y^2

dz/dy (1, -2) = 12*1*(-2) - 9*4 = -24 - 36 = -60

dosazeni do rovnice

z - 46 = 18*(x-1) -60*(y+2) 

~~DISCUSSION~~