U příkladů dávám vždy FIXME **zkontrolovat** aby ho zkontroloval alespoň ještě jeden další člověk. Prosím prvního člověka, kterému příklad vyjde stejně aby toto SMAZAL ať je vždy kontrola! Dííkes

====== Ze script ======
Kdo co máte ze sript, zkuste se poďelit aspoň vám to ostatní opraví. 
===== Kapitola 1 Úvod =====
==== 1.4 Cviceni (str. 9)====
=== 1.1 Najdete (uvahou) co nejjednoduzsi popis nasl. mnozin ===
== Zadani a) ==
<latex>\{ x^2 | x \in \mathbb{R} \}</latex>
== Reseni ==
<latex>\langle 0, \infty )</latex>

== Zadani b) ==
<latex>\{ 1/x | x \ge 1 \}</latex>
== Reseni ==
<latex>( 0, 1 \rangle</latex>

== Zadani c) ==
<latex>\{ e^{-x^2} | x \in \mathbb{R} \}</latex>
== Reseni ==
<latex>( 0, 1 \rangle</latex>


== Zadani d) ==
<latex>\{ x + y | x^2 + y^2 < 1 \}</latex>
== Reseni ==
<latex>( - \sqrt{2}, \sqrt{2} )</latex>


== Zadani e) ==
<latex>\{ x + y | x^2 + y^2 = 1 \}</latex>
== Reseni ==
<latex> \langle - \sqrt{2}, \sqrt{2} \rangle </latex>


== Zadani f) ==
<latex>\{ |x| + |y| | x^2 + y^2 = 1 \}</latex>
== Reseni ==
<latex> \langle 1, \sqrt{2}\rangle </latex>


== Zadani g) ==
<latex>\{ x_1 + \dots + x_n | x \in \mathbb{R}^n, \|\mathbf{x}\| = 1 \}</latex>
== Reseni ==
<latex> \langle - \sqrt{n}, \sqrt{n}\rangle </latex>


== Zadani h) ==
<latex>\{ | x - y | \ | x \in \langle 0, 1 \rangle, y \in ( 1, 2 \rangle \}</latex>
== Reseni ==
<latex> ( 0, 2 \rangle </latex>


=== 1.2 Mejme nozinu bodu v rovine ===
<latex> X = \langle -1, 1 \rangle \times \{ 0 \} = \{ ( x, 0 ) \ | \ -1 \leq x \leq 1 \} \subseteq \mathbb{R}^2 </latex>

Nacrtnete nasledujici mnoziny

== Zadani a) ==
<latex> \{ y \in \mathbb{R}^2 \ | \ min_{x \in X} \| x - y \| \leq 1 \} </latex>
== Reseni ==
Je to usecka od (-1,0) do (1,0)

== Zadani b) ==
<latex> \{ y \in \mathbb{R}^2 \ | \ max_{x \in X} \| x - y \| \leq 2 \} </latex>
== Reseni ==
Tohle je utvar ze dvou usecek (-1,2) az (1,2) a (-1,-2) az (1,-2) a dvou polokruznic, ktere je spojuji. 


===== Kapitola 2 Vektory a Matice =====
===== Kapitola 3 Skalární součin a ortogonalita =====
===== Kapitola 4 Metoda nejmenších čtverců =====
===== Kapitola 5 Vlastní čísla a kvadratické formy =====
===== Kapitola 6 Množiny a zobrazení v euklidovských prostorech =====
===== Kapitola 7 Derivace =====
===== Kapitola 8 Analytické podmínky na lokální extrémy =====
===== Kapitola 9 Numerické algoritmy na hledání volných lokálních extrémů =====
===== Kapitola 10 Konvexní množiny =====
===== Kapitola 11 Lineární programování =====
===== Kapitola 12 Simplexová metoda =====
===== Kapitola 13 Dualita v lineárním programování =====

====== Ze zkoušek ======
===== Zkouška 23.1.2012 =====
Minimální bodová hranice na Ečko byla snížena z 25 na 20/50. Úlohu 5 nikdo nedal, tak se do hodnocení nepočítala. Histogram úspěšnosti: 
  #A=2    #B=4    #C=11    #D=19    #E=32    #F=41

==== 1) Řeka ====
=== Zadání ===
Stojíte na břehu řeky široké 1km. Chcete se dostat ke stanu, který je na protějším břehu 1km po proudu. Chůzí po břehu se pohybujete 3km/h, plavete 2km/h. Proud řeky zanedbáme. Je to absolutní volej. Za jaký nejkratší čas se dostanete ke stanu? 

=== Řešení ===
Po kraji řeky ujdeme nějakou vzdálenost, pak vlezeme do řeky a budeme plavat šikmo, přímo ke stanu. 

Úsek který jdeme pěšky podél řeky si označíme <latex>1 - x</latex> zbytek vzdálenosti podél řeky bude tedy <latex>x</latex>. Podle pythagorovy věty budeme plavat vzdálenost <latex>\sqrt{x^2 + 1}</latex>. 

FIXME **Přidat obrázek**

Sestavíme si rovnici pro čas: 

<latex> T = \frac{1-x}{3} + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2} </latex>

Hledáme minimum této funkce, proto jí zderivujeme a prfní derivaci položíme rovnou nule: 

<latex> T' = -\frac{1}{3} + \frac{2x}{4\sqrt{x^2 + 1}} </latex>

<latex> -\frac{1}{3} + \frac{x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = 0 </latex>

<latex> \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2}{3} </latex>

<latex> 3x - 2\sqrt{x^2 + 1}} = 0 </latex>

<latex> 3x - 2(x^2 + 1)^\frac{1}{2} = 0 </latex>

<latex> 3x = 2(x^2 + 1)^\frac{1}{2} </latex>

<latex> \log(3x) = \log(2) + \frac{1}{2}\log(x^2 + 1) </latex>

<latex> 2\log(3x) = 2\log(2) + \log(x^2 + 1) </latex>

<latex> \log(9x^2) = \log(4) + \log(x^2 + 1) </latex>

Odlogaritmujeme: 

<latex> 9x^2 = 4(x^2 + 1) </latex>

<latex> 9x^2 = 4x^2 + 4 </latex>

<latex> x = \sqrt{\frac{4}{5}} </latex>

<latex> T = \frac{\sqrt{\frac{4}{5}}-1}{3} + \frac{\sqrt{\frac{4}{5} + 1}}{2} </latex>

Na kalkulačce: 

<latex> T = 0.6356295 </latex>

==== 2) Vážené nejmenší čtverce ====
=== Zadání ===

Hldedejte minimum x metodou vážených nejmenších čtverců:  

<latex> f(x) = \sum_{i=1}^{m} w_i ( \sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_j - b_i )^2 </latex>

  - Napište funkci v maticové formě <latex> f(x) = ??? </latex>
  - Najděte řešení v maticové podobě <latex> x = ??? </latex>


=== Řešení ===
Matice <latex>\mathbf{W}</latex> je ctvercova matice, ktera ma na diagonale prvky <latex>w_i</latex>, jinak vsude nuly. 

<latex> f(x) = (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T \mathbf{W}^T (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b}) </latex>

FIXME **zkontrolovat**

Tady nevim. Ja to zderivoval, polozil rovno nule a vyjadril z toho vektor <latex>\mathbf{x}</latex>. 

**DERIVACE JE BUĎ**

<latex> f'(x) = (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T (\mathbf{W} + \mathbf{W}^T) </latex>

FIXME **NEBO** zda se mi, ze derivujeme slozenou funkci, a ze tedy v predchozi verzi chybi "derivace vnitrni funkce" (Ax-b), coz by melo byt Acko) tedy derivace by mela vypadat takto: <latex> f'(x) = \mathbf{A}(\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T (\mathbf{W} + \mathbf{W}^T) </latex> Covynato? Dal pocitam s prvni variantou derivace. 

Matice <latex>\mathbf{W}</latex> je diagonalni, proto: 

<latex> f'(x) = (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T 2 \mathbf{W} </latex>

Roztransponujeme a roznasobime: 

<latex> f'(x) = \mathbf{x}^T \mathbf{A}^T 2 \mathbf{W} - \mathbf{b}^T 2 \mathbf{W} </latex>

Polozime rovno nule: 

<latex> \mathbf{x}^T \mathbf{A}^T 2 \mathbf{W} - \mathbf{b}^T 2 \mathbf{W} = 0 </latex>

<latex> 2 \mathbf{x}^T \mathbf{A}^T \mathbf{W} = 2 \mathbf{b}^T \mathbf{W} </latex>

<latex> \mathbf{x}^T = \mathbf{b}^T \mathbf{W} ( \mathbf{A}^T \mathbf{W} )^{-1} </latex>

FIXME **zkontrolovat reseni**

Řešil jsem to pro druhou a podle mě správnější variantu derivace <latex> f'(x) = (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T (\mathbf{W} + \mathbf{W}^T)\mathbf{A} </latex>

upravím protože <latex> \mathbf{W} = \mathbf{W}^T </latex>

Položím derivaci rovno nule:

<latex> (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T 2\mathbf{W}\mathbf{A} = 0 </latex>

<latex> (\mathbf{A} \mathbf{x})^T\mathbf{W}\mathbf{A} - \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}  = 0 </latex>

<latex> \mathbf{x}^T\mathbf{A}^T\mathbf{W}\mathbf{A} = \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}</latex>

<latex> \mathbf{x}^T = \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}(\mathbf{A}^T\mathbf{W}\mathbf{A})^{-1}</latex>

<latex> \mathbf{x}^T = \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{W}^{-1}\mathbf{A}^{-T}</latex>

<latex> \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}</latex> což je stejné jako vyšlo v předchozím případě..

Souhlas s druhym resenim, vyjde to tak, i kdyz si f(x) nejdrive roznasobim a az pak derivuji
{{:courses:a4b33opt:2_souhlas_roznasobeni_001.jpg?direct&100|}}
==== 3) Nejkratší spojnice mimoběžek ====
=== Zadání ===
Máme dvě mimoběžky v prostoru, každá dána dvěma body <latex>p_i,q_i \in \mathbb{R}^n,  i = \{1,2\}</latex>. Hledejte příčku, tj. nejkratší spojnici mezi mimoběžkami metodou nejmenších čtverců. 

<latex> min \| \mathbf{Ax-b} \|_2 </latex>

=== Řešení ===

Kdybych si to byl byval namaloval, mohl to byt celkem v pohode priklad =( 

Nasleduji myslenkove pochody a az nakonec vysledna forma. 

Abychom mohli "pochodovat" po prvni primce nadefinujeme si totok: 

<latex> (\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1) a + \mathbf{q}_1  </latex>

Kde <latex>\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1</latex> je smerovy vektor prvni primky a <latex> a </latex> je promenna, kterou tento vektor natahujeme. Analogicky pro druhou primku: 

<latex> (\mathbf{p}_2 - \mathbf{q}_2) b + \mathbf{q}_2  </latex>

Tim jsme si nadefinovali po jednom bodu na kazde primce. Rozdil techto bodu je vektor, jehoz velikost chceme ze zadani minimalizovat. Body tedy od sebe odecteme: 

<latex> ( (\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1) a + \mathbf{q}_1 ) - ((\mathbf{p}_2 - \mathbf{q}_2) b + \mathbf{q}_2 ) </latex>

A zbavime se nehezkych minusu: 

<latex> (\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1) a + (\mathbf{q}_2 - \mathbf{p}_2 ) b + \mathbf{q}_1 - \mathbf{q}_2 </latex>

Nyni se to pokusime dostat do tvaru <latex> \mathbf{Ax-b} </latex>

<latex> (\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1) a + (\mathbf{q}_2 - \mathbf{p}_2 ) b - ( \mathbf{q}_2 - \mathbf{q}_1 ) </latex>

Odtud uz by to melo byt videt. 

<latex> \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 </latex>

<latex> \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} (\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1) & (\mathbf{q}_2 - \mathbf{p}_2 ) \end{array} \right), \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times2} </latex>

<latex> \mathbf{B} = \left( \mathbf{q}_2 - \mathbf{q}_1 \right), \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n </latex>

Vypočítané koeficienty <latex>a</latex> a <latex>b</latex> se pak dosadí zpět do rovnic pro jednotlivé přímky (první dvě rovnice) abychom dostali body příčky, kterou hledáme. 

FIXME **zkontrolovat spravnost**

==== 4) GPS, nejmenší čtverce ====
=== Zadání ===
Máme souřadnice <latex>m</latex> satelitů <latex>\mathbf{a}_1, \dots, \mathbf{a}_m \in \mathbb{R}^n</latex>. V reálném světě by <latex>n = 3</latex>, my počítáme obecné <latex>n \in \mathbb{R}</latex>. Naše souřadnice je <latex>\mathbf{x} \in \mathbb{R}</latex>. Známe vzdálenosti od jednotlivých satelitů <latex> y_i = \| \mathbf{a}_i - \mathbf{x} \|_2</latex>. 

Minimalizujeme: 

<latex> f(x) = \sum_{i=1}^{m} ( \| \mathbf{a}_i - \mathbf{x} \|_2 - y_i )^2  </latex>

  - Napište matlabskou funkci ''x = gps(A,y,x0)'' která řeší úlohu čistou Gauss-Newtonovou metodou, kde <latex>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times m}, y  \in \mathbb{R}^{m}</latex> a kde <latex> x0 </latex> je počáteční odhad. 
  - Je funkce f konvexní? Napište důkaz z definice. 
  - Kde není funkce f diferencovatelná? 
  - Bude nediferencovatelnost dělat problém v reálu? 

=== Řešení ===

Navrh alespon na prvni cast - kod v matlabu (mozna nejaka indexace nemusi sedet - snad jsem to ale nepopletl)
{{:courses:a4b33opt:4_cast_v_matlabu_001.jpg?direct&100|}}
==== 5) Brambůrky, lupínky s pomocníkem ====
:!::!: Příklad nikdo nedal. nebyl započítán do bodování. :!::!:
=== Zadání ===
Děláme brambůrky a lupínky. Na kilo brambůrků spotřebujem 2kg brambor a 0.4 litry oleje. Na kilo lupínků spotřebujem 1.5kg brambor a 0.2 litrů oleje. Brambůrky prodáváme za 120,- za kilo, lupínky za 76,- za kilo. 

Máme pomocníka. Pomocník si nechá zaplatit 10,- za vyrobený kilogram zboží. Nad 30 kilogramů si ale nechává platit 20,- za kilogram. Nad 40 kilogramů čehokoli vyrobeného za den dáme pomocníkovi 40,- za kilo. (Funkce kolik peněz pomocník dostane, závislá na množství vyrobeného zboží je taková dvakrát nahoru zlomená čára. )

Předpokládáme, že na začátku dne máme nakoupeno 100kg brambor a 10litrů oleje. Co se nespotřebuje to se vyhodí. (Cenu surovin jsem si nezapisoval, páč je nám k ničemu). 

  - vyrobte LP
  - simplex tabulka
  - jeden krok simplex metody

=== Řešení ===

Kdyby nebyla pomocníkova cena dvakrát zlomená, vypadala by LP snad takhle: 

  max  120 l  +  76 h  -  10 (l+h)
  z.p.   2 l  + 1.5 h  <=  100
       0.4 l  + 0.2 h  <=   10

FIXME **zkontrolovat**

Myslim, ze se to da resit takto: (vcetne te "lomene" fce, kterou je trik radsi nelamat)
{{:courses:a4b33opt:5_brambory_lp_001.jpg?direct&100|}}

  max 120 b  +  76 b  -  10 c1 - 20 c2 - 40 c3
  a k tomu podminka c1 + c2 + c3 = b + l
  (a tez zbyvajici)
==== 6) Maxima, minima, nic-ima ====
=== Zadání ===
Máme funkci <latex> f(x,y) = x^2y + y^2 + x </latex> na množině <latex> \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | -1 \le x - y \le 1 \} </latex>. Určete lokální extrémy a zda jsou maxima, nebo mimnima. 

=== Řešení ===

Parciální derivace položíme rovny nule: 

<latex> f_x(x,y) = 2xy + 1 = 0</latex>

<latex> f_y(x,y) = x^2 + 2y = 0</latex>

Z první rovnice: 

<latex> y = -\frac{1}{2x}</latex>

Dosadíme do druhé: 

<latex> x^2 -\frac{1}{x} = 0 </latex>

Odtud: 

<latex> x^3 - 1 = 0 </latex>

A tedy: 

<latex> x = 1 </latex>

<latex> y = -\frac{1}{2}</latex>

Toto je sice stacionární bod zadané funkce, ale ani nemusíme řešit, jestli je to extrém. Ono totiž <latex> x - y = 1.5 </latex> a tím nám to vypadne z množiny, pro kterou máme příklad řešit. 

FIXME **zkontrolovat**

FIXME **dodělat** Teď mi ale došlo, že musíme teda najít, kterým směrem ta fce soupá a padá a hranice toho "definičního oboru" označit za extrémy.

**lagrange nerovnosti "hrubou silou"** zkusit to vyřešit pomocí Langrangeových multiplikátorů vyzkoušením všech možností (4)

nějaké rozumné extrémy mi vyšly jen při aktivaci omezení x-y=1, při x-y=-1 vyjdou komplexní kořeny nerovnice a při aktivaci obou nemá soustava řešení

mám tedy 2 řešení <latex>(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}-1),(x,y)=(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}-1)</latex>

vypočítám si Hessian <latex>\begin{pmatrix}2y & 2x \\ 2x & 2\end{pmatrix}</latex> dosadím a pro první bod mi vyjde indefinitní a stejně tak pro druhou, oba tedy budou nejspíše sedla..

==== 7) Linprog, duál, podm.kompl. ====
=== Zadání ===
Máme zadaný vektor a číslo <latex> \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n, k \in \mathbb{N}, k \le n, </latex> a řešíme <latex> max \ \mathbf{c}^T\mathbf{x}, z.p. \ \mathbf{1}^Tx \le k, \mathbf{0} \le \mathbf{x} \le \mathbf{1}, \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n </latex>

  - řešte úvahou
  - napište duál
  - napište podmínky komplementarity

=== Řešení ===

Úvaha: Stačí si představit co dělají podmínky. Součet všech čísel v x je menší nebo rovno k, a my maximalizujeme, tedy bude rovno k. Navíc jednotlivá čísla v x jsou od nuly do jedné. Vezmeme tedy k jedniček a narveme je do x na stejné souřadnice, jako je ve vektoru c, k-největších čísel. 

\\edit Tady je podle mě zrada, je třeba vzít v úvahu, že <latex>c^T</latex> může být třeba celé záporné a tedy výsledek bude <latex>\max\lbrace 0, k-\text{největších čísel}\rbrace</latex>

Doporučuju se podívat na str. 94 do skript. Rovnice úplně dole vyjadřují téměř přesně tuhle úlohu. 

<latex> \mathbf{A} = \left( \begin{matrix}
 1     & 1      & \dots  & 1      & 1      \\
 1     & 0      & \dots  & 0      & 0      \\
 0     & 1      & \dots  & 0      & 0      \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
 0     & 0      & \dots  & 1      & 0      \\
 0     & 0      & \dots  & 0      & 1      \\
\end{matrix} \right), A \in \mathbb{R}^{(n+1) \times n}, \ 
\mathbf{b} = \left( \begin{matrix}
k \\
1 \\
\vdots \\
1
\end{matrix} \right), \mathbf{b} \in \mathbb{R}^{(n+1)}  </latex> 

Primár pak vypadá takto: 

<latex> max \ \mathbf{c}^T \mathbf{x} </latex>

<latex> z.p. \ \mathbf{Ax} \le \mathbf{b}, \ \mathbf{x}  \ge \mathbf{0} </latex>

A od něj duál: 

<latex> min \ \mathbf{y}^T \mathbf{b} </latex>

<latex> z.p. \ \mathbf{y}  \ge \mathbf{0}, \ \mathbf{y}^T{A} \ge \mathbf{c}^T </latex>

\\edit tohle je podle mě špatně a zneménka mají být opačně...

<latex> z.p. \ \mathbf{y}  \le \mathbf{0}, \ \mathbf{y}^T{A} \le \mathbf{c}^T </latex>

Podmínky komplementarity pak stačí opsat ze skript z 13.2

===== Zkouška 6.2.2012 =====
==== 1) Středoškolská úloha - žebřík ====
=== Zadání ===
Zeď od které se svažuje zem pod úhlem alfa (zadaným ve formě směrnice k = tg(alfa)). Kam máme postavit žebřík (vodorovná vzdálenost x) délky 1 (jedna) tak, aby dosáhl co nejvýš?

  |
  |\          /
  | \        /
  |  \      /
  |   \    /
  |    \  /
  |     \/
  |     /
  |    /
  |   / )
  |  /   )
  | / alfa)
  +-----------
  |--x--|

=== Řrešení ===

Rozdělíme si výšku do které dosáhne žebřík na dvě části tak, že vedeme rovnoběřku s osou x patou žebříku. 

Tím nám vzniknou dva trojúhelníky. 

Horní trojúhelník má šikmou stranu žebřík, spodní stranu o délce x a vlevo je svislá strana, tedy část maximalizované výšky. 
Z tohoto trojúhelníka vyjádříme výšku podle pythagorovy věty jako <latex>h_1 = \sqrt{1-x^2}</latex>

Spodní trojúhelník má šikmou stěnu na "svahu" vodorovná je opět rovna x a svislá je druhá část výšky. druhou část dopočítáme podle tan(alfa) <latex> tan(\alpha) = k = \frac{h_2}{x}, tedy \  h_2 = kx</latex>

<latex> h = \sqrt{1-x^2} + kx </latex>

Toto se zderivuje polozi rovno nule a vyjadri se z toho x. 

==== 2) Extremy ====
=== Zadani ===
Najte extremy a reknete co to je

<latex>f(x,y) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} y^3 - xy</latex>

=== Reseni ===
Parcialni derivace (jakobian) polozime rovno nule ... vyjdou body (0,0) a (1,1)

Druha derivace (hessian) vyjde jako ( 1 -1 ; -1 2y ) a po dosazeni vyjde pro (0,0) indefinitni a (1,1) pozitivne definitni, tedy (1,1) je lok. minimum a (0,0) sedlo. 

==== 3) Simplex ====
=== Zadani ===
Na lisu na plasty vyrabime bud hadicky nebo trubicky. 

  hadicky  = 25 kc/kg
  trubicky = 30 kc/kg
  
  vyrobime 200 kg/h hadicek   maximalne ale 6000kg
  vyrobime 140 kg/h trubicek  maximalne ale 4000kg
  
  mame maximalne 40 hodin provozu lisu

Vse ostatni taknejak ignorujem =))

=== Reseni ===

Pomerne hezke reseni (diky Petru Nobstovi) bylo prevest si vsechno na hodiny a koruny. LPcko pak vypada takhle: 

  max  5000*t1  +  4200*t2
  z.p.      t1              + u1 = 30
                        t2  + u2 = 28,57    <<<--- 4000 / 140
             t1 +       t2  + u3 = 40

Tak jak to je se to namlati do simplexove tabulky, (bacha je to maximum, tak nejlip prevest na minimum). 

Nakonec vyjde, ze vyrabime 

  hadicek   30hod  *  200kg/h  =  6000 kg
  trubicek  10hod  *  140kg/h  =  1400 kg

==== 4) lagaranze ====
=== Zadani ===
minimalizute a^Tx za podminky xTCx = 1 , C je symetricka pozitivne definitni matice. 

<latex> min \{ \mathbf{a}^T\mathbf{x} \ | \ \mathbf{x}^T\mathbf{C}\mathbf{x} = 1 \}</latex>

b) jak se zmeni kdyz misto <latex>\mathbf{x}^T\mathbf{C}\mathbf{x} = 1</latex> bude <latex>\mathbf{x}^T\mathbf{C}\mathbf{x} \leq 1</latex>

c) graficka reprezentace pro n = 2

~~DISCUSSION~~