Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- courses:a4b33opt:cviceni7 [2009/10/30 09:40]
marty created
+++ courses:a4b33opt:cviceni7 [2025/01/03 18:28] (aktuální)
@@ Řádek 2: / Řádek 2: @@
 [[https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/cviceni/ls2.pdf?id=courses%3Aa4b33opt%3Acviceni%3Astart&cache=cache|Zadání]]
+=== Řešení druhé části cvičení pomocí QR rozkladu ===
+<code matlab>
+%
+% Function which solves Ax = b system of equations using QR decomposition
+%
+% Author: Martin Vejmelka <[email protected]>
+%
+function [ x ] = get_solution( A, b )
+    % determining solution size
+    asize = size(A);
+    result_vector_size = asize(2);
+    % QR decomposition
+    [Q1, R] = qr(A, 0);
+    % vector being counted
+    x = zeros(result_vector_size, 1);
+    % right side
+    b2 = Q1' * b;
+    % iterating through values in x and counting x
+    for i = result_vector_size:-1:1
+        x(i) = (b2(i) - (R(i,:) * x)) / R(i, i);
+    end
+end
+</code>
+==== Bonusovky ====
+--- //[[[email protected]|Tomáš Řehořek]] 2009/11/26 20:31//
+=== Hodnota min(F(x)) pokud rank(A) = rank (A|b) ===
+Otázka: Čemu se rovná minimum funkce **//F//**(**//x//**) pokud platí hodnost(**A**) = hodnost([**A** **//b//**])? Vaši odpověď zdůvodněte.
+Odpověď: Podle Frobeniovy věty má soustava v takovém případě (alespoň jedno) přesné řešení. Tzn., že lze nalézt řešení, kdy je mezi vektory **A//x//** a **//b//** nulová vzdálenost. Pak bude platit F(**//x//**) = ||**A//x//** − **//b//**||² = ||**0**||² = 0. Optimálnější řešení nalezneme jen s nepřekonatelnými obtížemi.
+=== Platnost ||Q^T * z||² = ||z||² pokud Q je ortonormální ===
+Otázka: Dokažte, že platí ||**Q**^//T// * **//z//**||² = ||**//z//**||², ∀**//z//** ∈ ℜ^//m//, pokud **Q** ∈ ℜ^//m//×//m// je ortonormální matice.
+Odpověď: Nejprve přepíšeme normu ||**Q**^//T// * **//z//**||² na součin: (**Q**^//T// * **//z//**)^//T// * (**Q**^//T// * **//z//**). Pak provedeme transpozici první závorky: (**Q**^//T// * **//z//**)^//T// * (**Q**^//T// * **//z//**) = (**//z//**^//T// * (**Q**^//T//)^//T//) * (**Q**^//T// * **//z//**) = (**//z//**^//T// * **Q**) * (**Q**^//T// * **//z//**). Nyní využijeme asociativity maticového násobení a součin přepíšeme na **//z//**^//T// * (**Q** * **Q**^//T//) * **//z//**. Z ortonormality matice **Q** vyplývá, že **Q** * **Q**^//T// = **E**, tedy dostáváme **//z//**^//T// * **E** * **//z//**. Jednotková matice je vzhledem k násobení neutrální, takže máme **//z//**^//T// * **//z//**. To ale není nic jiného, než norma ||**//z//**||², což jsme chtěli dokázat. Pan Olšák by měl v tuto chvíli radost.
 ~~DISCUSSION~~

courses/a4b33opt/cviceni7.1256892022.txt.gz · Poslední úprava: 2025/01/03 18:23 (upraveno mimo DokuWiki)

Nahoru