navigation
hledat
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
|
courses:a4b33opt:cviceni7 [2009/11/04 20:35] marty |
courses:a4b33opt:cviceni7 [2025/01/03 18:28] (aktuální) |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 9: | Řádek 9: | ||
| % | % | ||
| - | % Function which solutes Ax = b system of equations using QR decomposition | + | % Function which solves Ax = b system of equations using QR decomposition |
| % | % | ||
| % Author: Martin Vejmelka <[email protected]> | % Author: Martin Vejmelka <[email protected]> | ||
| Řádek 38: | Řádek 38: | ||
| </code> | </code> | ||
| + | |||
| + | ==== Bonusovky ==== | ||
| + | |||
| + | --- //[[[email protected]|Tomáš Řehořek]] 2009/11/26 20:31// | ||
| + | |||
| + | === Hodnota min(F(x)) pokud rank(A) = rank (A|b) === | ||
| + | |||
| + | Otázka: Čemu se rovná minimum funkce **//F//**(**//x//**) pokud platí hodnost(**A**) = hodnost([**A** **//b//**])? Vaši odpověď zdůvodněte. | ||
| + | |||
| + | Odpověď: Podle Frobeniovy věty má soustava v takovém případě (alespoň jedno) přesné řešení. Tzn., že lze nalézt řešení, kdy je mezi vektory **A//x//** a **//b//** nulová vzdálenost. Pak bude platit F(**//x//**) = ||**A//x//** − **//b//**||² = ||**0**||² = 0. Optimálnější řešení nalezneme jen s nepřekonatelnými obtížemi. | ||
| + | |||
| + | === Platnost ||Q^T * z||² = ||z||² pokud Q je ortonormální === | ||
| + | |||
| + | Otázka: Dokažte, že platí ||**Q**^//T// * **//z//**||² = ||**//z//**||², ∀**//z//** ∈ ℜ^//m//, pokud **Q** ∈ ℜ^//m//×//m// je ortonormální matice. | ||
| + | |||
| + | Odpověď: Nejprve přepíšeme normu ||**Q**^//T// * **//z//**||² na součin: (**Q**^//T// * **//z//**)^//T// * (**Q**^//T// * **//z//**). Pak provedeme transpozici první závorky: (**Q**^//T// * **//z//**)^//T// * (**Q**^//T// * **//z//**) = (**//z//**^//T// * (**Q**^//T//)^//T//) * (**Q**^//T// * **//z//**) = (**//z//**^//T// * **Q**) * (**Q**^//T// * **//z//**). Nyní využijeme asociativity maticového násobení a součin přepíšeme na **//z//**^//T// * (**Q** * **Q**^//T//) * **//z//**. Z ortonormality matice **Q** vyplývá, že **Q** * **Q**^//T// = **E**, tedy dostáváme **//z//**^//T// * **E** * **//z//**. Jednotková matice je vzhledem k násobení neutrální, takže máme **//z//**^//T// * **//z//**. To ale není nic jiného, než norma ||**//z//**||², což jsme chtěli dokázat. Pan Olšák by měl v tuto chvíli radost. | ||
| ~~DISCUSSION~~ | ~~DISCUSSION~~ | ||
