navigation
hledat
Rozdíly
Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.
|
courses:a4b33opt:test2 [2009/11/15 17:29] staryj2 created |
courses:a4b33opt:test2 [2025/01/03 18:28] (aktuální) |
||
|---|---|---|---|
| Řádek 1: | Řádek 1: | ||
| + | Test 2 vás čeká v úterý 24. listopadu. Otázky v testu se budou týkat látky z přednášek 10-13, to jest kvadratických funkcí více proměnných, vlastních čísel, nejmenších čtverců, parciálních derivací a minimalizace s omezeními pomocí Lagrangeových multiplikátorů. | ||
| + | |||
| ====== Vzorové příklady ====== | ====== Vzorové příklady ====== | ||
| [[https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/priklady1.pdf?id=courses%3Aa4b33opt%3Astart&cache=cache|Vzorové příklady]] | [[https://cw.felk.cvut.cz/lib/exe/fetch.php/courses/a4b33opt/priklady1.pdf?id=courses%3Aa4b33opt%3Astart&cache=cache|Vzorové příklady]] | ||
| + | |||
| + | ===== 1) Spočítejte vlastní čísla matice ===== | ||
| + | |||
| + | 1 2 | ||
| + | | ||
| + | -4 -2 | ||
| + | |||
| + | Postup: | ||
| + | |||
| + | A*x = lambda*x | ||
| + | |||
| + | (A-I*lambda)*x=0 | ||
| + | |||
| + | det(A-I*lambda)=0 | ||
| + | |||
| + | |||
| + | determinant | ||
| + | |||
| + | 1-lambda 2 | ||
| + | | ||
| + | -4 -2- lambda | ||
| + | |||
| + | (1-lambda)*(-2- lambda) -2*(-4)=0 | ||
| + | |||
| + | lambda^2 + lambda + 6=0 | ||
| + | |||
| + | lambda = (-1 +-i sqrt(23))/2 | ||
| + | |||
| + | |||
| + | ===== 2) Napiště rovnici, jejímiž kořeny jsou vlastní čísla matice ===== | ||
| + | |||
| + | Stačí spočítat rovnici jako v prvním případě, není třeba hledat kořeny | ||
| + | |||
| + | Neověřený výsledek: - lambda ^ 3 + 2 lambda ^ 2 + 13 lambda - 24 | ||
| + | |||
| + | Vyšlo mi: - lambda ^ 3 + 2 lambda ^ 2 + 14 lambda + 8 --- //[[[email protected]|Roman Polášek]] 2009/11/24 12:46// | ||
| + | |||
| + | Také mi vyšlo: - lambda ^ 3 + 2 lambda ^ 2 + 14 lambda + 8 --- //[[[email protected]|Štěpán Hašek]] 2010/01/16 12:05// | ||
| + | |||
| + | ===== 3) Pro dané matice určete (ručně), zda jsou positivně/negativně (semi)definitní nebo indefinitní ===== | ||
| + | Určíme vlastní čísla, pak platí | ||
| + | |||
| + | idefinitní - vlastní čísla jsou kladná i záporná | ||
| + | |||
| + | semidefinitní - vlastní čísla obsahují nulu a jsou buď jen kladná nebo jen záporná | ||
| + | |||
| + | definitní - vlastní čísla jsou jen kladná, nebo jen záporná (bez nuly) | ||
| + | |||
| + | ===== 4) Čemu je rovno A ^ n = A x ... x A (n-krát), kde A je symetrická matice? Při odpovědi použijte pojem vlastních čísel. ===== | ||
| + | A je podobna diagonalni matici D, tzn. A = X^-1DX kde D ma na diagonale stejna vlastni cisla matice A a X je regularni matice | ||
| + | |||
| + | Z toho plyne, ze A^n = (X^-1DX)^n -> (X^-1DX)(X^-1DX)...(X^-1DX)=X^-1D(XX^-1)D(XX^-1)...DX=X^-1D^nX -> **A^n = X^-1D^nX** kde X je regularni matice a D ma na diagonale vlastni cisla matice A. Tedy D^n ma na diagonale vlastni cisla matice A^n | ||
| + | |||
| + | ===== 5) Je dána funkce f(x,y) = 6xy^2 - 2x^3 - 3y^3. Určete rovnici ===== | ||
| + | z = 6xy^2 -2x^3 -3y^3 | ||
| + | |||
| + | a) rovnice tečné roviny v bode (1, -2) | ||
| + | |||
| + | funkcni hodnota v bode (1, -2) | ||
| + | |||
| + | z(1, -2) = 6*1*4 - 2 + 3*8 = 46 | ||
| + | |||
| + | parcialní derivace podle x | ||
| + | |||
| + | dz/dx = 6y^2 - 6x^2 | ||
| + | |||
| + | dz/dx (1, -2) = 6*4 - 6*1 = 18 | ||
| + | |||
| + | |||
| + | parcialní derivace podle y | ||
| + | |||
| + | dz/dy = 12xy - 9y^2 | ||
| + | |||
| + | dz/dy (1, -2) = 12*1*(-2) - 9*4 = -24 - 36 = -60 | ||
| + | |||
| + | dosazeni do rovnice | ||
| + | |||
| + | z - 46 = 18*(x-1) -60*(y+2) | ||
| + | |||
| ~~DISCUSSION~~ | ~~DISCUSSION~~ | ||
