navigation
hledat
Toto je starší verze dokumentu!
Obsah
Test 2 vás čeká v úterý 24. listopadu. Otázky v testu se budou týkat látky z přednášek 10-13, to jest kvadratických funkcí více proměnných, vlastních čísel, nejmenších čtverců, parciálních derivací a minimalizace s omezeními pomocí Lagrangeových multiplikátorů.
Vzorové příklady
1) Spočítejte vlastní čísla matice
1 2 -4 -2
Postup:
A*x = lambda*x
(A-I*lambda)*x=0
det(A-I*lambda)=0
determinant
1-lambda 2 -4 -2- lambda
(1-lambda)*(-2- lambda) -2*(-4)=0
lambda^2 + lambda + 6=0
lambda = (-1 +-i sqrt(23))/2
2) Napiště rovnici, jejímiž kořeny jsou vlastní čísla matice
Stačí spočítat rovnici jako v prvním případě, není třeba hledat kořeny
Neověřený výsledek: - lambda ^ 3 + 2 lambda ^ 2 + 13 lambda - 24
3) Pro dané matice určete (ručně), zda jsou positivně/negativně (semi)definitní nebo indefinitní
Určíme vlastní čísla, pak platí
idefinitní - vlastní čísla jsou kladná i záporná
semidefinitní - vlastní čísla obsahují nulu a jsou buď jen kladná nebo jen záporná
definitní - vlastní čísla jsou jen kladná, nebo jen záporná (bez nuly)
4) Čemu je rovno A ^ n = A x ... x A (n-krát), kde A je symetrická matice? Při odpovědi použijte pojem vlastních čísel.
A je podobna diagonalni matici D, tzn. A = X^-1DX kde D ma na diagonale stejna vlastni cisla matice A a X je regularni matice
Z toho plyne, ze A^n = (X^-1DX)^n → (X^-1DX)(X^-1DX)…(X^-1DX)=X^-1D(XX^-1)D(XX^-1)…DX=X^-1D^nX → A^n = X^-1D^nX kde X je regularni matice a D ma na diagonale vlastni cisla matice A. Tedy D^n ma na diagonale vlastni cisla matice A^n
5) Je dána funkce f(x,y) = 6xy^2 - 2x^3 - 3y^3. Určete rovnici
z = 6xy^2 -2x^3 -3y^3
a) rovnice tečné roviny v bode (1, -2)
funkcni hodnota v bode (1, -2)
z(1, -2) = 6*1*4 - 2 + 3*8 = 46
parcialní derivace podle x
dz/dx = 6y^2 - 6x^2
dz/dx (1, -2) = 6*4 - 6*1 = 18
parcialní derivace podle y
dz/dy = 12xy - 9y^2
dz/dy (1, -2) = 12*1*(-2) - 9*4 = -24 - 36 = -60
dosazeni do rovnice
z - 46 = 18*(x-1) -60*(y+2)
