Rozdíly

Zde můžete vidět rozdíly mezi vybranou verzí a aktuální verzí dané stránky.

--- courses:a4b33opt:vypocitane_priklady [2012/01/30 02:46]
nardi pridan ukol 1 prvni kapitoly
+++ courses:a4b33opt:vypocitane_priklady [2025/01/03 18:28] (aktuální)
@@ Řádek 5: / Řádek 5: @@
 ===== Kapitola 1 Úvod =====
 ==== 1.4 Cviceni (str. 9)====
-=== 1.1 Najdete co nejjednoduzsi popis nasl. mnozin ===
+=== 1.1 Najdete (uvahou) co nejjednoduzsi popis nasl. mnozin ===
 == Zadani a) ==
 <latex>\{ x^2 | x \in \mathbb{R} \}</latex>
@@ Řádek 15: / Řádek 15: @@
 == Reseni ==
 <latex>( 0, 1 \rangle</latex>
+== Zadani c) ==
+<latex>\{ e^{-x^2} | x \in \mathbb{R} \}</latex>
+== Reseni ==
+<latex>( 0, 1 \rangle</latex>
+== Zadani d) ==
+<latex>\{ x + y | x^2 + y^2 < 1 \}</latex>
+== Reseni ==
+<latex>( - \sqrt{2}, \sqrt{2} )</latex>
+== Zadani e) ==
+<latex>\{ x + y | x^2 + y^2 = 1 \}</latex>
+== Reseni ==
+<latex> \langle - \sqrt{2}, \sqrt{2} \rangle </latex>
+== Zadani f) ==
+<latex>\{ |x| + |y| | x^2 + y^2 = 1 \}</latex>
+== Reseni ==
+<latex> \langle 1, \sqrt{2}\rangle </latex>
+== Zadani g) ==
+<latex>\{ x_1 + \dots + x_n | x \in \mathbb{R}^n, \|\mathbf{x}\| = 1 \}</latex>
+== Reseni ==
+<latex> \langle - \sqrt{n}, \sqrt{n}\rangle </latex>
+== Zadani h) ==
+<latex>\{ | x - y | \ | x \in \langle 0, 1 \rangle, y \in ( 1, 2 \rangle \}</latex>
+== Reseni ==
+<latex> ( 0, 2 \rangle </latex>
+=== 1.2 Mejme nozinu bodu v rovine ===
+<latex> X = \langle -1, 1 \rangle \times \{ 0 \} = \{ ( x, 0 ) \ | \ -1 \leq x \leq 1 \} \subseteq \mathbb{R}^2 </latex>
+Nacrtnete nasledujici mnoziny
+== Zadani a) ==
+<latex> \{ y \in \mathbb{R}^2 \ | \ min_{x \in X} \| x - y \| \leq 1 \} </latex>
+== Reseni ==
+Je to usecka od (-1,0) do (1,0)
+== Zadani b) ==
+<latex> \{ y \in \mathbb{R}^2 \ | \ max_{x \in X} \| x - y \| \leq 2 \} </latex>
+== Reseni ==
+Tohle je utvar ze dvou usecek (-1,2) az (1,2) a (-1,-2) az (1,-2) a dvou polokruznic, ktere je spojuji.
 ===== Kapitola 2 Vektory a Matice =====
@@ Řádek 47: / Řádek 99: @@
 Sestavíme si rovnici pro čas:
-<latex> T = \frac{x-1}{3} + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2} </latex>
+<latex> T = \frac{1-x}{3} + \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{2} </latex>
 Hledáme minimum této funkce, proto jí zderivujeme a prfní derivaci položíme rovnou nule:
-<latex> T' = \frac{1}{3} + \frac{2x}{4\sqrt{x^2 + 1}} </latex>
+<latex> T' = -\frac{1}{3} + \frac{2x}{4\sqrt{x^2 + 1}} </latex>
-<latex> \frac{1}{3} + \frac{x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = 0 </latex>
+<latex> -\frac{1}{3} + \frac{x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = 0 </latex>
-<latex> \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = - \frac{2}{3} </latex>
+<latex> \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{2}{3} </latex>
 <latex> 3x - 2\sqrt{x^2 + 1}} = 0 </latex>
@@ Řádek 82: / Řádek 134: @@
 <latex> T = 0.6356295 </latex>
-FIXME **zkontrolovat výsledek**
 ==== 2) Vážené nejmenší čtverce ====
@@ Řádek 129: / Řádek 179: @@
 FIXME **zkontrolovat reseni**
+Řešil jsem to pro druhou a podle mě správnější variantu derivace <latex> f'(x) = (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T (\mathbf{W} + \mathbf{W}^T)\mathbf{A} </latex>
+upravím protože <latex> \mathbf{W} = \mathbf{W}^T </latex>
+Položím derivaci rovno nule:
+<latex> (\mathbf{A} \mathbf{x} - \mathbf{b})^T 2\mathbf{W}\mathbf{A} = 0 </latex>
+<latex> (\mathbf{A} \mathbf{x})^T\mathbf{W}\mathbf{A} - \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}  = 0 </latex>
+<latex> \mathbf{x}^T\mathbf{A}^T\mathbf{W}\mathbf{A} = \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}</latex>
+<latex> \mathbf{x}^T = \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}(\mathbf{A}^T\mathbf{W}\mathbf{A})^{-1}</latex>
+<latex> \mathbf{x}^T = \mathbf{b}^T\mathbf{W}\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{W}^{-1}\mathbf{A}^{-T}</latex>
+<latex> \mathbf{x} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}</latex> což je stejné jako vyšlo v předchozím případě..
+Souhlas s druhym resenim, vyjde to tak, i kdyz si f(x) nejdrive roznasobim a az pak derivuji
+{{:courses:a4b33opt:2_souhlas_roznasobeni_001.jpg?direct&100|}}
 ==== 3) Nejkratší spojnice mimoběžek ====
 === Zadání ===
@@ Řádek 165: / Řádek 235: @@
 <latex> \mathbf{x} = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right), \mathbf{x} \in \mathbb{R}^2 </latex>
-<latex> \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} (\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1) & (\mathbf{q}_2 - \mathbf{p}_2 ) \end{array} \right), \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{nx2} </latex>
+<latex> \mathbf{A} = \left( \begin{array}{cc} (\mathbf{p}_1 - \mathbf{q}_1) & (\mathbf{q}_2 - \mathbf{p}_2 ) \end{array} \right), \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times2} </latex>
 <latex> \mathbf{B} = \left( \mathbf{q}_2 - \mathbf{q}_1 \right), \mathbf{b} \in \mathbb{R}^n </latex>
@@ Řádek 181: / Řádek 251: @@
 <latex> f(x) = \sum_{i=1}^{m} ( \| \mathbf{a}_i - \mathbf{x} \|_2 - y_i )^2  </latex>
-  - Napište matlabskou funkci ''x = gps(A,y,x0)'' která řeší úlohu čistou Gauss-Newtonovou metodou, kde <latex>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{nxm}, y  \in \mathbb{R}^{m}</latex> a kde <latex> x0 </latex> je počáteční odhad.
+  - Napište matlabskou funkci ''x = gps(A,y,x0)'' která řeší úlohu čistou Gauss-Newtonovou metodou, kde <latex>\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n\times m}, y  \in \mathbb{R}^{m}</latex> a kde <latex> x0 </latex> je počáteční odhad.
   - Je funkce f konvexní? Napište důkaz z definice.
   - Kde není funkce f diferencovatelná?
@@ Řádek 188: / Řádek 258: @@
 === Řešení ===
+Navrh alespon na prvni cast - kod v matlabu (mozna nejaka indexace nemusi sedet - snad jsem to ale nepopletl)
+{{:courses:a4b33opt:4_cast_v_matlabu_001.jpg?direct&100|}}
 ==== 5) Brambůrky, lupínky s pomocníkem ====
 :!::!: Příklad nikdo nedal. nebyl započítán do bodování. :!::!:
@@ Řádek 211: / Řádek 283: @@
 FIXME **zkontrolovat**
+Myslim, ze se to da resit takto: (vcetne te "lomene" fce, kterou je trik radsi nelamat)
+{{:courses:a4b33opt:5_brambory_lp_001.jpg?direct&100|}}
+  max 120 b  +  76 b  -  10 c1 - 20 c2 - 40 c3
+  a k tomu podminka c1 + c2 + c3 = b + l
+  (a tez zbyvajici)
 ==== 6) Maxima, minima, nic-ima ====
 === Zadání ===
@@ Řádek 245: / Řádek 323: @@
 FIXME **zkontrolovat**
 FIXME **dodělat** Teď mi ale došlo, že musíme teda najít, kterým směrem ta fce soupá a padá a hranice toho "definičního oboru" označit za extrémy.
+**lagrange nerovnosti "hrubou silou"** zkusit to vyřešit pomocí Langrangeových multiplikátorů vyzkoušením všech možností (4)
+nějaké rozumné extrémy mi vyšly jen při aktivaci omezení x-y=1, při x-y=-1 vyjdou komplexní kořeny nerovnice a při aktivaci obou nemá soustava řešení
+mám tedy 2 řešení <latex>(x,y)=(\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}-1),(x,y)=(-\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}}-1)</latex>
+vypočítám si Hessian <latex>\begin{pmatrix}2y & 2x \\ 2x & 2\end{pmatrix}</latex> dosadím a pro první bod mi vyjde indefinitní a stejně tak pro druhou, oba tedy budou nejspíše sedla..
 ==== 7) Linprog, duál, podm.kompl. ====
@@ Řádek 258: / Řádek 344: @@
 Úvaha: Stačí si představit co dělají podmínky. Součet všech čísel v x je menší nebo rovno k, a my maximalizujeme, tedy bude rovno k. Navíc jednotlivá čísla v x jsou od nuly do jedné. Vezmeme tedy k jedniček a narveme je do x na stejné souřadnice, jako je ve vektoru c, k-největších čísel.
+\\edit Tady je podle mě zrada, je třeba vzít v úvahu, že <latex>c^T</latex> může být třeba celé záporné a tedy výsledek bude <latex>\max\lbrace 0, k-\text{největších čísel}\rbrace</latex>
 Doporučuju se podívat na str. 94 do skript. Rovnice úplně dole vyjadřují téměř přesně tuhle úlohu.
@@ Řádek 287: / Řádek 375: @@
 <latex> z.p. \ \mathbf{y}  \ge \mathbf{0}, \ \mathbf{y}^T{A} \ge \mathbf{c}^T </latex>
+\\edit tohle je podle mě špatně a zneménka mají být opačně...
+<latex> z.p. \ \mathbf{y}  \le \mathbf{0}, \ \mathbf{y}^T{A} \le \mathbf{c}^T </latex>
 Podmínky komplementarity pak stačí opsat ze skript z 13.2
+===== Zkouška 6.2.2012 =====
+==== 1) Středoškolská úloha - žebřík ====
+=== Zadání ===
+Zeď od které se svažuje zem pod úhlem alfa (zadaným ve formě směrnice k = tg(alfa)). Kam máme postavit žebřík (vodorovná vzdálenost x) délky 1 (jedna) tak, aby dosáhl co nejvýš?
+  |
+  |\          /
+  | \        /
+  |  \      /
+  |   \    /
+  |    \  /
+  |     \/
+  |     /
+  |    /
+  |   / )
+  |  /   )
+  | / alfa)
+  +-----------
+  |--x--|
+=== Řrešení ===
+Rozdělíme si výšku do které dosáhne žebřík na dvě části tak, že vedeme rovnoběřku s osou x patou žebříku.
+Tím nám vzniknou dva trojúhelníky.
+Horní trojúhelník má šikmou stranu žebřík, spodní stranu o délce x a vlevo je svislá strana, tedy část maximalizované výšky.
+Z tohoto trojúhelníka vyjádříme výšku podle pythagorovy věty jako <latex>h_1 = \sqrt{1-x^2}</latex>
+Spodní trojúhelník má šikmou stěnu na "svahu" vodorovná je opět rovna x a svislá je druhá část výšky. druhou část dopočítáme podle tan(alfa) <latex> tan(\alpha) = k = \frac{h_2}{x}, tedy \  h_2 = kx</latex>
+<latex> h = \sqrt{1-x^2} + kx </latex>
+Toto se zderivuje polozi rovno nule a vyjadri se z toho x.
+==== 2) Extremy ====
+=== Zadani ===
+Najte extremy a reknete co to je
+<latex>f(x,y) = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{3} y^3 - xy</latex>
+=== Reseni ===
+Parcialni derivace (jakobian) polozime rovno nule ... vyjdou body (0,0) a (1,1)
+Druha derivace (hessian) vyjde jako ( 1 -1 ; -1 2y ) a po dosazeni vyjde pro (0,0) indefinitni a (1,1) pozitivne definitni, tedy (1,1) je lok. minimum a (0,0) sedlo.
+==== 3) Simplex ====
+=== Zadani ===
+Na lisu na plasty vyrabime bud hadicky nebo trubicky.
+  hadicky  = 25 kc/kg
+  trubicky = 30 kc/kg
+  vyrobime 200 kg/h hadicek   maximalne ale 6000kg
+  vyrobime 140 kg/h trubicek  maximalne ale 4000kg
+  mame maximalne 40 hodin provozu lisu
+Vse ostatni taknejak ignorujem =))
+=== Reseni ===
+Pomerne hezke reseni (diky Petru Nobstovi) bylo prevest si vsechno na hodiny a koruny. LPcko pak vypada takhle:
+  max  5000*t1  +  4200*t2
+  z.p.      t1              + u1 = 30
+                        t2  + u2 = 28,57    <<<--- 4000 / 140
+             t1 +       t2  + u3 = 40
+Tak jak to je se to namlati do simplexove tabulky, (bacha je to maximum, tak nejlip prevest na minimum).
+Nakonec vyjde, ze vyrabime
+  hadicek   30hod  *  200kg/h  =  6000 kg
+  trubicek  10hod  *  140kg/h  =  1400 kg
+==== 4) lagaranze ====
+=== Zadani ===
+minimalizute a^Tx za podminky xTCx = 1 , C je symetricka pozitivne definitni matice.
+<latex> min \{ \mathbf{a}^T\mathbf{x} \ | \ \mathbf{x}^T\mathbf{C}\mathbf{x} = 1 \}</latex>
+b) jak se zmeni kdyz misto <latex>\mathbf{x}^T\mathbf{C}\mathbf{x} = 1</latex> bude <latex>\mathbf{x}^T\mathbf{C}\mathbf{x} \leq 1</latex>
+c) graficka reprezentace pro n = 2
 ~~DISCUSSION~~

courses/a4b33opt/vypocitane_priklady.1327887996.txt.gz · Poslední úprava: 2025/01/03 18:24 (upraveno mimo DokuWiki)

Nahoru