Kdo co máte ze sript, zkuste se poďelit aspoň vám to ostatní opraví.

Nacrtnete nasledujici mnoziny

Je to usecka od (-1,0) do (1,0)

Tohle je utvar ze dvou usecek (-1,2) az (1,2) a (-1,-2) az (1,-2) a dvou polokruznic, ktere je spojuji.

Minimální bodová hranice na Ečko byla snížena z 25 na 20/50. Úlohu 5 nikdo nedal, tak se do hodnocení nepočítala. Histogram úspěšnosti:

#A=2    #B=4    #C=11    #D=19    #E=32    #F=41

Stojíte na břehu řeky široké 1km. Chcete se dostat ke stanu, který je na protějším břehu 1km po proudu. Chůzí po břehu se pohybujete 3km/h, plavete 2km/h. Proud řeky zanedbáme. Je to absolutní volej. Za jaký nejkratší čas se dostanete ke stanu?

Po kraji řeky ujdeme nějakou vzdálenost, pak vlezeme do řeky a budeme plavat šikmo, přímo ke stanu.

Úsek který jdeme pěšky podél řeky si označíme zbytek vzdálenosti podél řeky bude tedy . Podle pythagorovy věty budeme plavat vzdálenost .

Přidat obrázek

Sestavíme si rovnici pro čas:

Hledáme minimum této funkce, proto jí zderivujeme a prfní derivaci položíme rovnou nule:

Odlogaritmujeme:

Na kalkulačce:

Hldedejte minimum x metodou vážených nejmenších čtverců:

1. Napište funkci v maticové formě
2. Najděte řešení v maticové podobě

Matice je ctvercova matice, ktera ma na diagonale prvky , jinak vsude nuly.

zkontrolovat

Tady nevim. Ja to zderivoval, polozil rovno nule a vyjadril z toho vektor .

DERIVACE JE BUĎ

NEBO zda se mi, ze derivujeme slozenou funkci, a ze tedy v predchozi verzi chybi „derivace vnitrni funkce“ (Ax-b), coz by melo byt Acko) tedy derivace by mela vypadat takto: Covynato? Dal pocitam s prvni variantou derivace.

Matice je diagonalni, proto:

Roztransponujeme a roznasobime:

Polozime rovno nule:

zkontrolovat reseni

Řešil jsem to pro druhou a podle mě správnější variantu derivace

upravím protože

Položím derivaci rovno nule:

což je stejné jako vyšlo v předchozím případě..

Souhlas s druhym resenim, vyjde to tak, i kdyz si f(x) nejdrive roznasobim a az pak derivuji

Máme dvě mimoběžky v prostoru, každá dána dvěma body . Hledejte příčku, tj. nejkratší spojnici mezi mimoběžkami metodou nejmenších čtverců.

Kdybych si to byl byval namaloval, mohl to byt celkem v pohode priklad =(

Nasleduji myslenkove pochody a az nakonec vysledna forma.

Abychom mohli „pochodovat“ po prvni primce nadefinujeme si totok:

Kde je smerovy vektor prvni primky a je promenna, kterou tento vektor natahujeme. Analogicky pro druhou primku:

Tim jsme si nadefinovali po jednom bodu na kazde primce. Rozdil techto bodu je vektor, jehoz velikost chceme ze zadani minimalizovat. Body tedy od sebe odecteme:

A zbavime se nehezkych minusu:

Nyni se to pokusime dostat do tvaru

Odtud uz by to melo byt videt.

Vypočítané koeficienty a se pak dosadí zpět do rovnic pro jednotlivé přímky (první dvě rovnice) abychom dostali body příčky, kterou hledáme.

zkontrolovat spravnost

Máme souřadnice satelitů . V reálném světě by , my počítáme obecné . Naše souřadnice je . Známe vzdálenosti od jednotlivých satelitů .

Minimalizujeme:

1. Napište matlabskou funkci x = gps(A,y,x0) která řeší úlohu čistou Gauss-Newtonovou metodou, kde a kde je počáteční odhad.
2. Je funkce f konvexní? Napište důkaz z definice.
3. Kde není funkce f diferencovatelná?
4. Bude nediferencovatelnost dělat problém v reálu?

Navrh alespon na prvni cast - kod v matlabu (mozna nejaka indexace nemusi sedet - snad jsem to ale nepopletl)

Příklad nikdo nedal. nebyl započítán do bodování.

Děláme brambůrky a lupínky. Na kilo brambůrků spotřebujem 2kg brambor a 0.4 litry oleje. Na kilo lupínků spotřebujem 1.5kg brambor a 0.2 litrů oleje. Brambůrky prodáváme za 120,- za kilo, lupínky za 76,- za kilo.

Máme pomocníka. Pomocník si nechá zaplatit 10,- za vyrobený kilogram zboží. Nad 30 kilogramů si ale nechává platit 20,- za kilogram. Nad 40 kilogramů čehokoli vyrobeného za den dáme pomocníkovi 40,- za kilo. (Funkce kolik peněz pomocník dostane, závislá na množství vyrobeného zboží je taková dvakrát nahoru zlomená čára. )

Předpokládáme, že na začátku dne máme nakoupeno 100kg brambor a 10litrů oleje. Co se nespotřebuje to se vyhodí. (Cenu surovin jsem si nezapisoval, páč je nám k ničemu).

1. vyrobte LP
2. simplex tabulka
3. jeden krok simplex metody

Kdyby nebyla pomocníkova cena dvakrát zlomená, vypadala by LP snad takhle:

max  120 l  +  76 h  -  10 (l+h)
z.p.   2 l  + 1.5 h  <=  100
     0.4 l  + 0.2 h  <=   10

zkontrolovat

Myslim, ze se to da resit takto: (vcetne te „lomene“ fce, kterou je trik radsi nelamat)

Máme funkci na množině . Určete lokální extrémy a zda jsou maxima, nebo mimnima.

Parciální derivace položíme rovny nule:

Z první rovnice:

Dosadíme do druhé:

Odtud:

A tedy:

Toto je sice stacionární bod zadané funkce, ale ani nemusíme řešit, jestli je to extrém. Ono totiž a tím nám to vypadne z množiny, pro kterou máme příklad řešit.

zkontrolovat

dodělat Teď mi ale došlo, že musíme teda najít, kterým směrem ta fce soupá a padá a hranice toho „definičního oboru“ označit za extrémy.

lagrange nerovnosti „hrubou silou“ zkusit to vyřešit pomocí Langrangeových multiplikátorů vyzkoušením všech možností (4)

nějaké rozumné extrémy mi vyšly jen při aktivaci omezení x-y=1, při x-y=-1 vyjdou komplexní kořeny nerovnice a při aktivaci obou nemá soustava řešení

mám tedy 2 řešení

vypočítám si Hessian dosadím a pro první bod mi vyjde indefinitní a stejně tak pro druhou, oba tedy budou nejspíše sedla..

Máme zadaný vektor a číslo a řešíme

1. řešte úvahou
2. napište duál
3. napište podmínky komplementarity

Úvaha: Stačí si představit co dělají podmínky. Součet všech čísel v x je menší nebo rovno k, a my maximalizujeme, tedy bude rovno k. Navíc jednotlivá čísla v x jsou od nuly do jedné. Vezmeme tedy k jedniček a narveme je do x na stejné souřadnice, jako je ve vektoru c, k-největších čísel.

\\edit Tady je podle mě zrada, je třeba vzít v úvahu, že může být třeba celé záporné a tedy výsledek bude

Doporučuju se podívat na str. 94 do skript. Rovnice úplně dole vyjadřují téměř přesně tuhle úlohu.

Primár pak vypadá takto:

A od něj duál:

\\edit tohle je podle mě špatně a zneménka mají být opačně…

Podmínky komplementarity pak stačí opsat ze skript z 13.2

Zeď od které se svažuje zem pod úhlem alfa (zadaným ve formě směrnice k = tg(alfa)). Kam máme postavit žebřík (vodorovná vzdálenost x) délky 1 (jedna) tak, aby dosáhl co nejvýš?

|
|\          /
| \        /
|  \      /
|   \    /
|    \  /
|     \/
|     /
|    /
|   / )
|  /   )
| / alfa)
+-----------
|--x--|

Rozdělíme si výšku do které dosáhne žebřík na dvě části tak, že vedeme rovnoběřku s osou x patou žebříku.

Tím nám vzniknou dva trojúhelníky.

Horní trojúhelník má šikmou stranu žebřík, spodní stranu o délce x a vlevo je svislá strana, tedy část maximalizované výšky. Z tohoto trojúhelníka vyjádříme výšku podle pythagorovy věty jako

Spodní trojúhelník má šikmou stěnu na „svahu“ vodorovná je opět rovna x a svislá je druhá část výšky. druhou část dopočítáme podle tan(alfa)

Toto se zderivuje polozi rovno nule a vyjadri se z toho x.

Najte extremy a reknete co to je

Parcialni derivace (jakobian) polozime rovno nule … vyjdou body (0,0) a (1,1)

Druha derivace (hessian) vyjde jako ( 1 -1 ; -1 2y ) a po dosazeni vyjde pro (0,0) indefinitni a (1,1) pozitivne definitni, tedy (1,1) je lok. minimum a (0,0) sedlo.

Na lisu na plasty vyrabime bud hadicky nebo trubicky.

hadicky  = 25 kc/kg
trubicky = 30 kc/kg

vyrobime 200 kg/h hadicek   maximalne ale 6000kg
vyrobime 140 kg/h trubicek  maximalne ale 4000kg

mame maximalne 40 hodin provozu lisu

Vse ostatni taknejak ignorujem )

Pomerne hezke reseni (diky Petru Nobstovi) bylo prevest si vsechno na hodiny a koruny. LPcko pak vypada takhle:

max  5000*t1  +  4200*t2
z.p.      t1              + u1 = 30
                      t2  + u2 = 28,57    <<<--- 4000 / 140
           t1 +       t2  + u3 = 40

Tak jak to je se to namlati do simplexove tabulky, (bacha je to maximum, tak nejlip prevest na minimum).

Nakonec vyjde, ze vyrabime

hadicek   30hod  *  200kg/h  =  6000 kg
trubicek  10hod  *  140kg/h  =  1400 kg

minimalizute a^Tx za podminky xTCx = 1 , C je symetricka pozitivne definitni matice.

b) jak se zmeni kdyz misto bude

c) graficka reprezentace pro n = 2