navigation
hledat
Toto je starší verze dokumentu!
Test 2 vás čeká v úterý 24. listopadu. Otázky v testu se budou týkat látky z přednášek 10-13, to jest kvadratických funkcí více proměnných, vlastních čísel, nejmenších čtverců, parciálních derivací a minimalizace s omezeními pomocí Lagrangeových multiplikátorů.
Vzorové příklady
1) Spočítejte vlastní čísla matice
1 2 -4 -2
Postup:
A*x = lambda*x
(A-I*lambda)*x=0
det(A-I*lambda)=0
determinant
1-lambda 2 -4 -2- lambda
(1-lambda)*(-2- lambda) -2*(-4)=0
lambda^2 + lambda + 6=0
lambda = (-1 +-i sqrt(23))/2
2)
Stačí spočítat rovnici jako v prvním případě, není třeba hledat kořeny
3)
Určíme vlastní čísla, pak platí
idefinitní - vlastní čísla jsou kladná i záporná
semidefinitní - vlastní čísla obsahují nulu a jsou buď jen kladná nebo jen záporná
definitní - vlastní čísla jsou jen kladná, nebo jen záporná (bez nuly)
5)
z = 6xy^2 -2x^3 -3y^3
a) rovnice tečné roviny v bode (1, -2)
funkcni hodnota v bode (1, -2)
z(1, -2) = 6*1*4 - 2 + 3*8 = 46
parcialní derivace podle x
dz/dx = 6y^2 - 6x^2
dz/dx (1, -2) = 6*4 - 6*1 = 18
parcialní derivace podle y
dz/dy = 12xy - 9y^2
dz/dy (1, -2) = 12*1*(-2) - 9*4 = -24 - 36 = -60
dosazeni do rovnice
z - 46 = 18*(x-1) -60*(y+2)
